擬似逆行列

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性質１

Aをm×nの実行列とする

もしm<nならA^TAに逆行列は存在しない

もしm≧nでA^TAに逆行列が存在する場合を考える

A⁺=(A^TA)^-1A^Tは擬似逆行列の定義を満たす

このとき，A⁺A=Iが成り立つ．ただしIは単位行列．

A: m×n, A^T: n×m, A⁺: n×m, A^TA: n×n, I: n×n

AとA⁺のランクはn

性質２

Aをm×nの実行列とする

もしm>nならAA^Tに逆行列は存在しない

もしm≦nでAA^Tに逆行列が存在する場合を考える

A⁺=A^T(AA^T)^-1は擬似逆行列の定義を満たす

このとき，AA⁺=Iが成り立つ．ただしIは単位行列．

A: m×n, A^T: n×m, A⁺: n×m, AA^T: m×m, I: m×m

AとA⁺のランクはm

逆行列

Aが正方行列で，Aの逆行列が計算できるなら，A⁺=A^-1である．このとき，上記２つのA⁺に対して，AA⁺=A⁺A=AA^-1=A^-1A=Iが成り立つ．ただしIは単位行列．

数値計算

逆行列を求める方法として，Gauss-Jordan法やLU分解による方法，が有名であるが，いずれも，（非特異の）正方行列の逆行列しか計算できない．擬似逆行列を計算する場合は，Aが正方行列でなくても，A^TAやAA^Tが正方行列になるため，Gauss-Jordan法やLU分解を適用することができる．特異値分解(SVD)により擬似逆行列を計算する方法もある．

特異値分解(SVD)による擬似逆行列の計算

Aをm×n行列とする．m<nのときは0の行をあらかじめ付け加えてm=nとしておく．このときm≧nとなる．

A=UWV^TをAに特異値分解をかけた結果とする

ただし，Wは左上に大きな値が配置され，右下に小さな値が配置されていると仮定する

Wの要素のうち，値がしきい値より小さい要素を0に設定した行列をW'とする

W'=diag(w₁,w₂,...,w_k,0,0,...,0)のとき

W''=diag(1/w₁,1/w₂,...,1/w_k,0,0,...,0)と定義する

A⁺=VW''U^Tと定義する

A⁺Aはn×n行列で，左上k×kが単位行列でそれ以外は0

AA⁺はm×m行列

もしAのランクがnならA⁺は性質1を満たす

Aのランクがn未満であってもA⁺は擬似逆行列の定義を満たす

Ax=bを解く問題でx=VW''U^Tbを計算したとする

もしAのrankがnならxは解の誤差を最小とする値

もしAのrankがn未満ならxは解のうちで解自身のノルム||x||を最小とする値

ムーア・ペンローズの擬似逆行列の定義

m×n行列Aがあり，Aが実行列であるとき，Moore-Penroseのn×mの擬似逆行列A⁺の定義は以下のようになる

AA⁺A=A

A⁺AA⁺=A⁺

(AA⁺)^T=AA⁺

(A⁺A)^T=A⁺A

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